Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)， .

（1）求證： ；

（2）若存在，使，求的取值范圍；

（3）若對任意的恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）或（3）.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得函數(shù)的最小值，所以.

(2)原問題等價于函數(shù)有零點時的的取值范圍.分類討論：①當(dāng)時， 有零點.②當(dāng)時， 無零點.③當(dāng)時， 有零點.則的取值范圍是或.

(3)原問題即.構(gòu)造函數(shù)，其值域為，且.結(jié)合導(dǎo)函數(shù)可得在上為減函數(shù)，所以，. 記區(qū)間，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合題意討論可得的最小值為.

試題解析：

（1）令，得，且當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值. 因為，所以.

（2）設(shè)，題設(shè)等價于函數(shù)有零點時的的取值范圍.

①當(dāng)時，由，所以有零點.

②當(dāng)時，

若，由，得；

若，由（1）知， ，所以無零點.

③當(dāng)時， ，又存在， ，所以有零點.

綜上， 的取值范圍是或.

（3）由題意， ，因為，所以.

設(shè)，其值域為，

由于，所以.

又，所以在上為減函數(shù)，所以，.

記區(qū)間，則.①

設(shè)函數(shù)，

一方面， ；

另一方面， ，

存在，

所以，使，即，所以.②

由①，②知， ，

從而，即的最小值為.