Question

如圖在三角形ABC中，E為斜邊AB的中點，CD⊥AB，AB=1，則(

CA

•

CD

)(

CA

•

CE

)的最大值是

2

27

．

Answer 1

分析：設CA=x，CB=y，則x²+y²=1，求出CD，然后根據(jù)數(shù)量積公式求出(

CA

•

CD

)(

CA

•

CE

)，然后利用基本不等式進行求解，即可求出最大值．

解答：解：設CA=x，CB=y，則x²+y²=1
CD=

xy

1

=xy
∴

CA

•

CD

= |

CA

||

CD

| cosθ=x2•y• y=x2y2

CA

•

CE

=

CA

•

1

2

(

CA

+

CB

) =

1

2

x2
∴(

CA

•

CD

)(

CA

•

CE

)=

1

2

x⁴•y²=

1

2

x⁴（1-x²）=2•

x2

2

•

x2

2

（1-x²）≤2(

x2+x2+1-x2

3

)3=

2

27

．
故答案為：

2

27

點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積，以及基本不等式求最值，有一定的難度，屬于中檔題．