Question

（2013•湖州二模）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時，

PM

•

PN

的取值范圍是

[0，2]

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可設(shè)M、N分別是內(nèi)切球在正方體左、右側(cè)面的切點(diǎn)，運(yùn)動點(diǎn)P并加以觀察，可得當(dāng)P與正方體的某個頂點(diǎn)重合時，

PM

•

PN

達(dá)到最大值；當(dāng)P與正方體某個面的中心重合時，

PM

•

PN

達(dá)到最小值．由此結(jié)合數(shù)量積的計算公式，即可得到數(shù)量積

PM

•

PN

的取值范圍．

解答：解：根據(jù)題意，MN是正方體內(nèi)切球的最大弦長
∴MN是內(nèi)切球的直徑
設(shè)M、N分別是內(nèi)切球在正方體左、右側(cè)面的切點(diǎn)，如圖
方法1：當(dāng)P在正方體表面運(yùn)動，它與正方體的某個頂點(diǎn)重合時，

PM

•

PN

達(dá)到最大值．以C₁點(diǎn)為例，此時

PM

•

PN

=

C1M

•

C1N

=

|C1M|

•

|C1N|

cos∠∠MC₁N=

|C1N|

²=（

2

2

A

A

1

）²=2；
當(dāng)點(diǎn)P與正方體某個面的中心重合時，

PM

•

PN

達(dá)到最小值．
此時

PM

⊥

PN

，得

PM

•

PN

=0
綜上所述，得數(shù)量積

PM

•

PN

的取值范圍為[0，2]
方法2：連接PO，可得

PM

•

PN

=（

PO

+

OM

）•（

PO

+

ON

）=

PO

²+

PO

•

ON

+

OM

•

PO

+

OM

•

ON

=

PO

²+

PO

•（

ON

+

OM

）+

OM

•

ON

=

PO

²-1
當(dāng)|

PO

|達(dá)到最大值

3

時，

PM

•

PN

的最大值為2；當(dāng)|

PO

|達(dá)到最小值1時，

PM

•

PN

的最小值為0．
綜上所述，得數(shù)量積

PM

•

PN

的取值范圍為[0，2]
故答案為：[0，2]

點(diǎn)評：本題給出正方體的內(nèi)切球，求一個數(shù)量積的取值范圍．著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和正方體的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．