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				在xOy平面上有一系列點P1（x1,y1）,P2(x2,y2),…，Pn(xn,yn),…,對每個自然數(shù)n,點Pn位于函數(shù)y=x2(x≥0)的圖象上，以點Pn為圓心的⊙Pn與x軸都相切，且⊙Pn與⊙Pn+1又彼此外切.若x1=1且xn+1＜xn?(n∈N*).
          (1)求證：數(shù)列{1xn}是等差數(shù)列；
          (2)設⊙Pn的面積為Sn,Tn=+…+,求證：Tn＜.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          (1)證明：依題意，⊙Pn的半徑rn=yn=xn2,∵⊙Pn與⊙Pn+1彼此外切，∴|PnPn+1|=rn+rn+1|,∴=yn+yn+1，兩邊平方，化簡得（xn-xn+1）2=4ynyn+1,即：（xn-xn+1）2=4xn2xn+12.∵0＜xn+1＜xn,∴xn-xn+1=2xnxn+1=2(n∈N*).所以數(shù)列{}是等差數(shù)列； 
          (2)解析：由題設，∵x1=1,∴=+(n-1)·2xn=,
          ∴Sn=πrn2=πyn2=πxn4=,
          Tn=+…+=［1++…+］
          ≤［1++…+］=［1+(1-)］=
          ＜.

          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)在xoy平面上有一系列點P1（x1，y1），P2（x2，y2）…，Pn（xn，yn），…，（n∈N*），點Pn在函數(shù)y=x2（x≥0）的圖象上，以點Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切，且圓Pn與圓Pn+1又彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xnx1=1．
          （I）求數(shù)列{xn}的通項公式；
          （II）設圓Pn的面積為Sn，Tn=
          		S1
          +
          		S2
          +…+
          		Sn
          ，求證：Tn＜
          3
          		2
          2
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          在xoy平面上有一系列點P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，對每個正整數(shù)n，以點Pn為圓心的⊙Pn與x軸及射線y=
          		3
          x，（x≥0）都相切，且⊙Pn與⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
          （1）求證：數(shù)列{xn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項公式；
          （2）設數(shù)列{an}的各項為正，且滿足an≤
          xnan-1
          xn+an-1
          ，a1          =1，
          求證：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜
          5
          4
          -
          1
          3n-1
          ，（n≥2）
          （3）對于（2）中的數(shù)列{an}，當n＞1時，求證：(1-an)2[
          a
          2
          2
          (1-
          a
          2
          2
          )          2
          +
          a
          3
          3
          (1-
          a
          3
          3
          )          2
          +…+
          a
          n
          n
          (1-
          a
          n
          n
          )          2
          ]＞
          4
          5
          -
          1
          1+an+
          a
          2
          n
          +…+
          a
          n
          n
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          在xoy平面上有一系列點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）┉Pn（xn，yn），對于每個自然數(shù)n，點Pn（xn，yn）位于函數(shù)y=x2（x≥0）圖象上，以點Pn為圓心的⊙Pn與x軸相切，又與⊙Pn+1外切，若x1=1，xn+1＜xn（n∈N+），則數(shù)列{xn}的通項公式xn=
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2008年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學競賽試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          在xoy平面上有一系列點P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，對每個正整數(shù)n，以點Pn為圓心的⊙Pn與x軸及射線y=x，（x≥0）都相切，且⊙Pn與⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
          （1）求證：數(shù)列{xn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項公式；
          （2）設數(shù)列{an}的各項為正，且滿足an≤=1，
          求證：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜，（n≥2）
          （3）對于（2）中的數(shù)列{an}，當n＞1時，求證：．

          

			
          

			
          
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