Question

（2013•韶關(guān)二模）我市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡（單位：歲）分組：第1組[20，25），第2組[25，30），第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，應(yīng)從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？
（2）請根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名志愿者樣本的平均數(shù)；
（3）在（1）的條件下，該市決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率．
（參考數(shù)據(jù)：22.5×0.01+27.5×0.07+32.5×0.06+37.5×0.04+42.5×0.02=6.45）

Answer 1

分析：（1）先分別求出這3組的人數(shù)，再利用分層抽樣的方法即可得出答案；
（2）利用各個小矩形的面積乘以對應(yīng)矩形的底邊的中點的和為數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（3）記第3組的3名志愿者為A₁，A₂，A₃，第4組的2名志愿者為B₁，B₂，第5組的1名志愿者為C₁．利用古典概型的概率計算公式、互斥事件及相互獨立事件的概率計算公式即可得出．

解答：解：（1）第3組的人數(shù)為0.3×100=30，第4組的人數(shù)為0.2×100=20，第5組的人數(shù)為0.1×100=10．…（2分）
因為第3，4，5組共有60名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：

30

60

×6=3； 第4組：

20

60

×6=2； 第5組：

10

60

×6=1．
所以應(yīng)從第3，4，5組中分別抽取3人，2人，1人．…（4分）
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，樣本的平均數(shù)的估計值為：22.5×（0.01×5）+27.5×（0.07×5）+32.5×（0.06×5）+37.5×（0.04×5）+42.5×（0.02×5）=6.45×5=32.25（歲）
所以，樣本平均數(shù)為32.25歲．…（8分）
（3）記第3組的3名志愿者為A₁，A₂，A₃，第4組的2名志愿者為B₁，B₂，第5組的1名志愿者為C₁．則從6名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），
（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共有15種．…（10分）
其中第4組的2名志愿者B₁，B₂至少有一名志愿者被抽中的有：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共有9種…（11分）
根據(jù)古典概型概率計算公式，得P(A)=

9

15

=

3

5

…（12分）
答：第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為

3

5

…（13分）

點評：熟練掌握頻率分布直方圖、分層抽樣的定義、古典概型的概率計算公式、互斥事件及相互獨立事件的概率計算公式是解題的關(guān)鍵．