Question

已知曲線的方程為，過原點(diǎn)作斜率為的直線和曲線相交，另一個交點(diǎn)記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點(diǎn)記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點(diǎn)記為，如此下去，一般地，過點(diǎn)作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點(diǎn)記為，設(shè)點(diǎn)（）．
（1）指出，并求與的關(guān)系式（）；
（2）求（）的通項(xiàng)公式，并指出點(diǎn)列，， ，，  向哪一點(diǎn)無限接近？說明理由；
（3）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求所有可能的乘積的和．

Answer 1

（1）；（2），；（3）.

解析試題分析：（1）由于，點(diǎn)，又都是拋物線上的點(diǎn)，代入進(jìn)去變形可得到與的關(guān)系為；（2）由于只要求數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，因此把（1）中得到的關(guān)系式中分別為代換，得到兩個等式相減可得與的關(guān)系式，用累加法可求得通項(xiàng)公式，當(dāng)時，，即得極限點(diǎn)為；（3）求出，是一個等比數(shù)列，其，于是，即，要求和，可先求和，而，
，由此可得結(jié)論.
試題解析：（1）．                         （1分）
設(shè)，，由題意得 ．     （2分）
                      （4分）
（2）分別用、代換上式中的n得
 ()       （6分）
又，，              （8分）
因，所以點(diǎn)列，， ，， 向點(diǎn)無限接近.     （10分）
（3）（理），．    （11分）
，.                          （12分）
將所得的積排成如下矩陣：
，設(shè)矩陣的各項(xiàng)和為.
在矩陣的左下方補(bǔ)上相應(yīng)的數(shù)可得
矩陣中第一行的各數(shù)和，
矩陣中第二行的各數(shù)和，
矩陣中第行的各數(shù)和，