Question

（05年全國(guó)卷Ⅲ）（12分）

如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，

側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD

（Ⅱ）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小

Answer 1

解析：方法一：（Ⅰ）證明：

（Ⅱ）解：取VD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE

∵VAD是正三角形

∴AE⊥VD，AF=AD

∵AB⊥平面VAD     ∴AB⊥AE

又由三垂線定理知BE⊥VD

因此，是所求二面角的平面角

于是，

即得所求二面角的大小為

方法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系。

（Ⅰ）證明：不妨設(shè)，則，

由，得

又，因而與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直。

∴平面

（Ⅱ）解：設(shè)為中點(diǎn)，則

由，得，又

因此，是所求二面角的平面角。

∵

∴解得所求二面角的大小為