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          【題目】如圖，已知三棱柱中，平面平面ABC，，.
          （1）證明：；
          （2）設(shè)，，求二面角的正弦值.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          【答案】（1）證明見解析；（2）.
          【解析】
          （1）要證明，只需證明平面即可；
          （2）取的中點為M，以C為原點，CA，CB，CM為正方向建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式計算即可.
          （1）證明：連結(jié).
          ∵，四邊形為菱形，∴.
          ∵平面平面ABC，平面平面，
          平面ABC，，
          ∴平面.
          又∵，∴平面，∴.
          ∵，
          ∴平面，而平面，
          ∴.
          （2）取的中點為M，連結(jié)CM.
          ∵，四邊形為菱形，，
          ∴，.
          又∵，以C為原點，CA，CB，CM為正方向建立空間直角坐標系，如圖.
          設(shè)，，，，
          ∴，，，，.
          由（1）知，平面的一個法向量為.
          設(shè)平面的法向量為，
          則并且，
          ∴.
          令，得，，
          即.
          ∴，
          ∴二面角的正弦值為.
          【點晴】
          本題主要考查線線垂直的證明，坐標法求二面角的大小，考查學生空間想象能力，數(shù)學運算能力，是一道中檔題.
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】某工廠生產(chǎn)了一批零件，從中隨機抽取100個作為樣本，測出它們的長度（單位：厘米），按數(shù)據(jù)分成，，，，5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．以這100個零件的長度在各組的頻率代替整批零件長度在該組的概率．
          （1）估計該工廠生產(chǎn)的這批零件長度的平均值（同一組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；
          （2）若用分層抽樣的方式從第1組和第5組中抽取5個零件，再從這5個零件中隨機抽取2個，求抽取的零件中恰有1個是第1組的概率．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】哈爾濱市第三中學校響應(yīng)教育部門疫情期間“停課不停學”的號召，實施網(wǎng)絡(luò)授課，為檢驗學生上網(wǎng)課的效果，高三學年進行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試.全學年共1500人，現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示）.已知這100人中分數(shù)段的人數(shù)比分數(shù)段的人數(shù)多6人.
          （1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a，b的值，并估計抽取的100名同學數(shù)學成績的中位數(shù)；
          （2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從分數(shù)在，的兩組同學中隨機抽取6名同學，從這6名同學中再任選2名同學作為“網(wǎng)絡(luò)課堂學習優(yōu)秀代表”發(fā)言，求這2名同學的分數(shù)不在同一組內(nèi)的概率.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】
          大學生是國家的未來，代表著國家可持續(xù)發(fā)展的實力，能夠促進國家綜合實力的提高.據(jù)統(tǒng)計，2016年至2020年我國高校畢業(yè)生人數(shù)y(單位：萬人)的數(shù)據(jù)如下表：
          年份
          2016
          2017
          2018
          2019
          2020
          年份代號x
          16
          17
          18
          19
          20
          高校畢業(yè)生人數(shù)y(單位：萬人)
          765
          795
          820
          834
          874
          （1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性的強弱.
          (已知：，則認為y與x線性相關(guān)性很強；，則認為y與x線性相關(guān)性一般；，則認為y與x線性相關(guān)性較弱)
          （2）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測2022年我國高校畢業(yè)生的人數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).
          參考公式和數(shù)據(jù)：，，，，，.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】在極坐標系中，點P的坐標是，曲線C的方程為.以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率為的直線l經(jīng)過點P.
          （1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；
          （2）若直線l和曲線C相交于兩點A，B，求的值.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】[選修4―4：坐標系與參數(shù)方程] 
          在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為.
          （1）若a=1，求C與l的交點坐標；
          （2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】已知動圓經(jīng)過點，且動圓被軸截得的弦長為4，記圓心的軌跡為曲線.
          （1）求曲線的標準方程；
          （2）過軸下方一點向曲線作切線，切點記作、，直線交曲線于點，若直線、的斜率乘積為，點在以為直徑的圓上，求點的坐標.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】為了解某校學生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查.已知該校共有學生960人，其中男生560人，從全校學生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：
          超過1小時
          不超過1小時
          男
          20
          8
          女
          12
          m
          （1）求m，n；
          （2）能否有95%的把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)？
          （3）從該校學生中隨機調(diào)查60名學生，一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)記為X，以樣本中學生參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，求X的分布列和數(shù)學期望.
          附：
          P（K2≥k）
          0.050
          0.010
          0.001
          k
          3.841
          6.635
          10.828
          K2.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點的橫坐標都縮短為原來的倍，縱坐標坐標都伸長為原來的倍，得到曲線，在極坐標系（與直角坐標系取相同的單位長度，且以原點為極點，以軸非負半軸為極軸）中，直線的極坐標方程為．
          （1）求直線和曲線的直角坐標方程；
          （2）設(shè)點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值．
          

			
          

			
          
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