Question

已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足
（1）證明：為等差數(shù)列
（2）令，記的前項(xiàng)和為，求證：

Answer 1

解：（1）

兩式相減得
整理得
（常數(shù)）
又
即，解得
是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列   6分
（2）方法一、由（1）知

即證：
設(shè)，
則
當(dāng)為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)單調(diào)遞減函數(shù)；
處取得極大值，也取得最大值。
即

時(shí)，令，得





當(dāng)，有
故結(jié)論成立。   13分
方法二：由（1）知
當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，即證：
令
即證：


當(dāng)時(shí)，容易證明單減，

單減，
結(jié)論成立    13分