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        1. 如圖,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,|AB|=2,|AC|=
          3
          2
          ,點(diǎn)A,B關(guān)于y軸對(duì)稱.一曲線E過C點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng),且保持|PA|+|PB|的值不變.
          (1)求曲線E的方程;
          (2)已知點(diǎn)S(0,-
          3
          ),T(0,
          3
          )
          ,求∠SPT的最小值;
          (3)若點(diǎn)F(1,
          3
          2
          )
          是曲線E上的一點(diǎn),設(shè)M,N是曲線E上不同的兩點(diǎn),直線FM和FN的傾斜角互補(bǔ),試判斷直線MN的斜率是否為定值,如果是,求出這個(gè)定值;如果不是,請(qǐng)說明理由.
          (1)設(shè)P(x,y),∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=
          3
          2
          +
          (
          3
          2
          )
          2
          +4
          =4>2=|AB|
          …(1分)
          ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A,B為焦點(diǎn)的橢圓,且a=2,c=1,b=
          3
          …(2分)
          ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程即曲線E的方程為
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          …(3分)
          (2)設(shè)P(x0,y0)是曲線E上的任意一點(diǎn),則有
          x02
          4
          +
          y02
          3
          =1
          ,∴y02=3(1-
          x02
          4
          )

          由橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在y軸右側(cè),即0<x0≤2
          kPS=
          y0+
          3
          x0
          ,kPT=
          y0-
          3
          x0
          ,由到角公式得…(4分)tan∠SPT=
          kPS-kPT
          1+kPSkPT
          =
          y0+
          3
          x0
          -
          y0-
          3
          x0
          1+
          y0+
          3
          x0
          y0-
          3
          x0
          =
          2
          3
          x0
          x02+y02-3
          =
          2
          3
          x0
          x02-
          3
          4
          x02
          =
          8
          3
          x0
          >0

          ∴∠SPT為銳角…(6分)
          ∵0<x0≤2,∴當(dāng)x0=2時(shí),(tan∠SPT)min=4
          3
          …(7分)
          ∴∠SPT的最小值為arctan4
          3
          …(8分)
          (3)∵M(jìn),N是曲線E上不同的兩點(diǎn),且直線FM和FN的傾斜角互補(bǔ),則直線FM,F(xiàn)N的斜率存在且不為零.
          設(shè)直線FM的方程為y=k(x-1)+
          3
          2

          y=k(x-1)+
          3
          2
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          消y,整理得(4k2+3)x2-4k(2k-3)x+4k2-12k-3=0①…(10分)
          設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),又F(1,
          3
          2
          )
          是直線FM與橢圓的交點(diǎn),∴方程①的兩根為1,x1
          由根與系數(shù)的關(guān)系得x1=
          4k2-12k-3
          4k2+3
          ②…(11分)
          ∵直線FM和FN的傾斜角互補(bǔ),∴直線FN的斜率為-k,
          以-k代替②中的k得x2=
          4k2+12k-3
          4k2+3
          …(12分)
          y1=k(x1-1)+
          3
          2
          ,y2=-k(x2-1)+
          3
          2
          y1-y2=k(x1+x2-2)=k•(
          8k2-6
          4k2+3
          -2)=
          -12k
          4k2+3

          x1-x2=
          -24k
          4k2+3
          ,∴y1-y2=
          1
          2
          (x1-x2)

          ∴直線MN的斜率為定值,其定值為
          1
          2
          …(14分)
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知橢圓C1
          x2
          2
          +y2=1
          和圓C2x2+y2=1,左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為A,B,且F是橢圓C1的右焦點(diǎn).
          (1)若點(diǎn)P是曲線C2上位于第二象限的一點(diǎn),且△APF的面積為
          1
          2
          +
          2
          4
          ,求證:AP⊥OP;
          (2)點(diǎn)M和N分別是橢圓C1和圓C2上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn),且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍,求證:直線MN恒過定點(diǎn).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)D(1,0),且與直線l:x=-1相切.
          (1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C;
          (2)過定點(diǎn)D(1,0)作直線l交軌跡C于A、B兩點(diǎn),E是D點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn),求證:∠AED=∠BED.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知直線l與橢圓C:
          x2
          3
          +
          y2
          2
          =1
          交于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩不同點(diǎn),且△OPQ的面積S△OPQ=
          6
          2
          ,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
          (Ⅰ)證明x12+x22和y12+y22均為定值;
          (Ⅱ)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M,求|OM|•|PQ|的最大值;
          (Ⅲ)橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G,使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
          6
          2
          ?若存在,判斷△DEG的形狀;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          已知點(diǎn)P(x,y)滿足橢圓方程2x2+y2=1,則
          y
          x-1
          的最大值為______.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          如果橢圓
          x2
          36
          +
          y2
          9
          =1
          的弦被點(diǎn)(2,2)平分,那么這條弦所在的直線的方程是( 。
          A.x+4y=0B.x+4y-10=0C.x+4y-6=0D.x-4y-10=0

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)的離心率為
          2
          3
          3
          ,且過點(diǎn)P(
          6
          ,1).
          (Ⅰ)求雙曲線C的方程;
          (Ⅱ)若直線l:y=kx+
          2
          與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且
          OA
          OB
          >2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖所示,已知圓C:(x+1)2+y2=8,定點(diǎn)A(1,0),M為圓C上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段AM上,點(diǎn)N在線段CM上,且滿足
          AM
          =2
          AP
          ,
          NP
          AM
          =0
          ,點(diǎn)N的軌跡為曲線E.
          (1)求曲線E的方程;
          (2)若過定點(diǎn)F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H(點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間),且滿足
          FG
          FH
          ,求λ
          的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)所作直線中,被拋物線截得弦長(zhǎng)為8的直線有(  )
          A.1條B.2條C.3條D.不確定

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          同步練習(xí)冊(cè)答案