Question

（2012•房山區(qū)一模）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁，AB⊥BC．點(diǎn)M，N分別是CC₁，B₁C的中點(diǎn)，G是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B₁C⊥平面BNG；
（Ⅱ）若CG∥平面AB₁M，試確定G點(diǎn)的位置，并給出證明．

Answer 1

分析：（I）由直三棱柱的性質(zhì)結(jié)合AB⊥BC，得AB⊥平面B₁BCC₁，從而B₁C⊥GB，在等腰△BB₁C中，利用中線BN⊥B₁C，根據(jù)線面垂直的判定定理，得到B₁C⊥平面BNG．
（II）當(dāng)G是棱AB的中點(diǎn)時(shí)，CG∥平面AB₁M．連接AB₁，取AB₁的中點(diǎn)H，連接HG、HM、GC，用三角形中位線定理，得到GH∥BB₁且GH=

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2

BB₁，在正方形B₁BCC₁中證出MC∥BB₁且MC=

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2

BB₁，所以GH與MC平行且相等，得到四邊形HGCM為平行四邊形，GC∥HM，最后結(jié)合線面平行的判定定理，得到CG∥平面AB₁M．

解答：解：（I）：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁=BB₁，點(diǎn)N是B₁C的中點(diǎn)，
∴BN⊥B₁C…（1分）
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B
∴AB⊥平面B₁BCC₁…（3分）
∵B₁C?平面B₁BCC₁
∴B₁C⊥AB，即B₁C⊥GB…（5分）
又∵BN∩BG=B，BN、BG?平面BNG
∴B₁C⊥平面BNG…（6分）
（II）當(dāng)G是棱AB的中點(diǎn)時(shí)，CG∥平面AB₁M．…（7分）
證明如下：
連接AB₁，取AB₁的中點(diǎn)H，連接HG、HM、GC，
則HG為△AB₁B的中位線
∴GH∥BB₁，GH=

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BB₁…（8分）
∵由已知條件，B₁BCC₁為正方形
∴CC₁∥BB₁，CC₁=BB₁
∵M(jìn)為CC₁的中點(diǎn)，
∴CM=

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2

CC1…（11分）
∴MC∥GH，且MC=GH
∴四邊形HGCM為平行四邊形
∴GC∥HM…（12分）
又∵GC?平面AB₁M，HM?平面AB₁M，
∴CG∥平面AB₁M…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)側(cè)面是正方形的直三棱柱，求證線面垂直并探索線面平行的存在性，考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定定理等知識(shí)，屬于中檔題．