Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為F₂（

2

，0），其短軸上的一個端點到F₂距離為

3

．
（1）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）若過點P（0，m）（m＜0）的直線與橢圓C只有一個公共點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2

2

，求m的值；
（3）過橢圓C的“伴橢圓”上一動點Q作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個公共點，當(dāng)直線l₁，l₂都有斜率時，試判斷直線l₁，l₂的斜率之積是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其a、b、c的關(guān)系即可得出橢圓方程，進(jìn)而得到“伴橢圓”的方程；
（2）利用點到直線的距離公式、d2+(

1

2

l)2=r2、及直線與橢圓相切的性質(zhì)即可得出；
（3）利用（2）的結(jié)論及點Q的坐標(biāo)滿足“伴橢圓”的方程即可證明．

解答：解：（1）由題意可知：c=

2

，a=

3

，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓方程為：

x2

3

+y2=1，

a2+b2

=2；
∴橢圓C的“伴橢圓”方程為：x²+y²=4．
（2）設(shè)直線方程為：y=kx+m
∵截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2

2

，
∴圓心到直線的距離d=

|m|

1+k2

，
∵d2+(

2

)2=r2，∴d²=2，∴m²=2（1+k²）．（*）
又

x2+3y2=3 y=kx+m

得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0，
∵直線l與橢圓相切，
∴△=1+3k²-m²=0，
把（*）代入上式得m²=4，∵m＜0，解得m=-2．
∴m=-2．
（3）設(shè)Q（x₀，y₀），直線y-y₀=k（x-x₀），
由（2）可知1+3k2-m2=1+3k2-(y0-kx0)2=0，
即(3-

x

2 0

)k2+2y0x0k+1-

y

2 0

=0，∴k1k2=

1- y 2 0

3- x 2 0

，
又∵Q（x₀，y₀）在“伴橢圓”上，∴

x

2 0

+

y

2 0

=4，∴3-

x

2 0

=

y

2 0

-1．
∴k₁k₂=-1為定值．

點評：熟練掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其a、b、c的關(guān)系、點到直線的距離公式、d2+(

1

2

l)2=r2、及直線與橢圓相切的性質(zhì)、“伴橢圓”的定義是解題的關(guān)鍵．