Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F₂（

2

，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F₂距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)P（0，m）（m＜0）的直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為2

2

，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F₂（

2

，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F₂距離為

3

，即可求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線l為：y=kx+m，代入橢圓方程，利用△=0，直線l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為2

2

，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：a=

3

，半焦距c=

2

則b=1，所以橢圓C方程為

x2

3

+y2=1，“伴隨圓”方程為x²+y²=4；
（Ⅱ）則設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線l為：y=kx+m（m＜0），
則

y=kx+m x2 3 +y2=1

，整理得（1+3k²）x²+6kmx+（3m²-3）=0
所以△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）=0，解3k²+1=m²①
又因?yàn)橹本�l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為2

2

，
則有2

22-( |m| k2+1 )2

=2

2

化簡(jiǎn)得m²=2（k²+1）②
聯(lián)立①②解得，k²=1，m²=4，
所以k=±1，m=±2
因?yàn)閙＜0，所以m=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的直線的位置關(guān)系和綜合運(yùn)用，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力．