Question

求(1+2x-3x²)⁶展開式中含x⁵的項(xiàng).

Answer 1

思路分析:冪函數(shù)6是個不大的數(shù)目，顯然可以按多項(xiàng)式乘法法則把(1+2x-3x²)⁶乘開為多項(xiàng)式，再從中取出含x⁵的項(xiàng)，但是計算量較大.如果把1+2x-3x²中的兩項(xiàng)結(jié)合起來，則可看成二項(xiàng)式，從而可利用二項(xiàng)式定理，展開后，再把結(jié)合為一組的兩項(xiàng)展開，就能得到含x⁵的系數(shù).

解:原式=［1+(2x-3x²)］⁶=1+(2x-3x²)+(2x-3x²)²+(2x-3x²)³+…+(2x-3x²)⁶.

可以看出，繼續(xù)將右端展開后，在(2x-3x²)³,(x-3x²)⁴,(2x-3x²)⁵這三部分的展開式中都含有x⁵的項(xiàng)，它們分別是：

×2×(-3)²x⁵,×2³×(-3)x⁵,2⁵x⁵.把這三項(xiàng)合并后，就得到(1+2x-3x²)⁶展開式中含的項(xiàng)是-168x⁵.

    方法歸納 用結(jié)合的方法，把三項(xiàng)式做為二項(xiàng)式處理，這是一種較為普遍的轉(zhuǎn)化方法.通過轉(zhuǎn)化.可以把較生疏的問題轉(zhuǎn)化為較熟悉的問題，把較困難的問題轉(zhuǎn)化為較容易的問題.