Question

已知圓C的參數(shù)方程為

x= 3 +2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），
（1）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，寫出圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)O，傾斜角α=

π

6

，設(shè)l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求O到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析：（1）先求出曲線C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代換求得極坐標(biāo)方程．
（2 設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t₁和t₂，以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到t²+3t-1=0，由|OA|•|OB|=|t₁t₂|求出點(diǎn)O到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

解答：解：（1）由

x= 3 +2cosθ y=2sinθ

得

x- 3 =2cosθ y=2sinθ

，
兩式平方后相加得（x-

3

）²+y²=4，…（4分）
∴曲線C是以（

3

，0）為圓心，半徑等于2的圓．令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入并整理得ρ2-2

3

ρCOSθ-1=0．
即曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ2-2

3

ρCOSθ-1=0 …（10分）
（2）直線的參數(shù)方程是

x= 3 2 t y= 1 2 t

（t是參數(shù)）．
因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在直線l上，所以可設(shè)它們對應(yīng)的參數(shù)為t₁和t₂，
圓化為直角坐標(biāo)系的方程（x-

3

）²+y²=4，
以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到 t²+3t-1=0  ①，
因?yàn)?SUB>1和t₂是方程①的解，從而 t₁t₁=-2．
所以|OA||OB|=t₁t₂|=|-1|=1．

點(diǎn)評：本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程及直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，本題考查直線的參數(shù)方程以及參數(shù)的幾何意義，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．