Question

(20)設(shè)f(x)=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)f(1)＞0，求證：

    (Ⅰ)方程f(x)=0有實根；

    (Ⅱ)-2＜＜-1；

    (Ⅲ)設(shè)x₁，x₂是方程f(x)=0的兩個實根，則≤|x₁-x₂|＜．

Answer 1

本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)與解法，以及綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力。  

證明：（Ⅰ）若a=0，則b=-c.

f（0）f（1）=c（3a+2b+c）

=-c²

≤0，

與已知矛盾，

所以a≠0.

方程3ax²+2bx+c=0的判別式

Δ=4（b²-3ac）,

由條件a+b+c=0，消去b，得

  Δ=4（a²+c²-ac）

    =4［（a-c）²+c²］

    ＞0,

故方程f（x）=0有實根.

(Ⅱ)由f（0）f（1）＞0，得

c（3a+2b+c）＞0，

   由條件a+b+c=0，消去c，得

（a+b）（2a+b）＜0.

   因為a²＞0，

   所以（1+）（2+）＜0，

    故-2＜＜-1.

(Ⅲ)由條件，知

x₁+x₂=-

          所以（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂

                =.

    因為-2＜＜-1，

    所以≤（x₁-x₂）²＜.

    故≤|x₁-x₂|＜.