Question

甲、乙兩公司同時開發(fā)同一種新產品，經測算，對于函數f（x）、g（x）以及任意的x≥0，當甲公司投入x萬元作宣傳時，若乙公司投入的宣傳費小于f（x）萬元，則乙公司對這一新產品的開發(fā)有失敗的風險，否則沒有失敗的風險；當乙公司投入x萬元作宣傳時，若甲公司投入的宣傳費小于g（x）萬元，則甲公司對這一新產品的開發(fā)有失敗的風險，否則沒有失敗的風險．
（Ⅰ）試解釋f（0）=10，g（0）=20的實際意義；
（Ⅱ）設f(x)=

1

4

x+10，g(x)=

x

+20，甲、乙公司為了避免惡性競爭，經過協(xié)商，同意在雙方均無失敗風險的情況下盡可能少地投入宣傳費用，問甲、乙兩公司各應投入多少宣傳費？

Answer 1

分析：（I）根據題意可f（0）=10表示當甲公司不投入宣傳費時，乙公司要避免新產品的開發(fā)有失敗風險，至少要投入10萬元宣傳費；
g（0）=20表示當乙公司不投入宣傳費時，甲公司要避免新產品的開發(fā)有失敗的風險，至少要投入20萬元宣傳費．
（Ⅱ）設甲公司投入宣傳費x萬元，乙公司投入宣傳費y萬元，根據題意可分別得出x和y的不等式關系，聯(lián)立可氣的y的范圍．

解答：解：（I）f（0）=10表示當甲公司不投入宣傳費時，乙公司要避免新產品的開發(fā)有失敗風險，至少要投入10萬元宣傳費；g（0）=20表示當乙公司不投入宣傳費時，甲公司要避免新產品的開發(fā)有失敗的風險，至少要投入20萬元宣傳費．
（Ⅱ）設甲公司投入宣傳費x萬元，乙公司投入宣傳費y萬元，
依題意，當且僅當

y≥f(x)= 1 4 x+10(1) x≥g(y)= y +20(2)

成立，雙方均無失敗的風險
由（1）（2）得y≥

1

4

(

y

+20)+10?4y-

y

-60≥0
∴(

y

-4)(4

y

+15)≥0，
∵4

y

+15＞0
∴

y

≥4?y≥16，x≥

y

+20≥4+20=24x_min=24y_min=16
答：要使雙方均無失敗風險，甲公司至少要投入24萬元，乙公司至少要投入16萬元．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．考查了學生運用所學知識解決實際問題的能力．