Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，側(cè)棱長為

2

a．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點A，B，A₁，C₁的坐標(biāo)；
（2）求AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）以點A為坐標(biāo)原點O，以AB所成直線為Oy軸，以AA₁所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點且與平面ABB₁A₁垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可求出A，B，A₁，C₁的坐標(biāo)；
（2）取A₁B₁的中點M，易證AC₁與AM所成的角就是AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角，求出

AC1

與

AM

的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求出此角即可．

解答：解：①如圖，以點A為坐標(biāo)原點O，以AB所成直線為Oy軸，
以AA₁所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點且與平面ABB₁A₁垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
由已知得A（0，0，0），B（0，a，0），A1(0，0，

2

a)，C1(-

3

2

a，

a

2

，

2

a)．
②坐標(biāo)系如上，取A₁B₁的中點M，于是有M(0，

a

2

，

2

a)，
連AM，MC₁有

MC1

=(-

3

2

a，0，0)，
且

AB

=（0，a，0），

AA1

=(0，0，

2

a)，
由

MC1

•

AB

=0，

MC1

•

AA1

=0，
所以，MC₁⊥面ABB₁A₁，
∴AC₁與AM所成的角就是AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角．
∵

AC1

=(-

3

2

a，

a

2

，

2

a)，

AM

=(0，

a

2

，

2

a)，
∴

AC1

•

AM

=0+

a2

4

+2a2=

9

4

a2，|

AC1

|=

3a2 4 + a2 4 +2a2

=

3

a，|

AM

|=

a2 4 +2a2

=

3

2

a，
∴cos＜

AC1

，

AM

＞=

9 4 a2

3 a• 3 2 a

=

3

2

，
所以，

AC1

與

AM

所成的角，即AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角為30°．

點評：本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．