Question

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，P點(diǎn)的極坐標(biāo)為（3， ）．曲線C的參數(shù)方程為ρ=2cos（θ﹣ ）（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若Q為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的距離的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由P點(diǎn)的極坐標(biāo)為（3， ），∴xP=3 = ，yP=3 = ， ∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為 ．
曲線C的參數(shù)方程為ρ=2cos（θ﹣ ）（θ為參數(shù)），展開可得：ρ2= （ρcosθ+ρsinθ），
∴x2+y2= x+ y，
配方為： + =1．
（Ⅱ）直線l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的直角坐標(biāo)方程為：：2x+4y= ．
設(shè)Q ，則M ，
則點(diǎn)M到直線l的距離d= = = ，當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ+φ）=﹣1時(shí)取等號(hào)．
∴點(diǎn)M到直線l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的距離的最小值是
【解析】（Ⅰ）由P點(diǎn)的極坐標(biāo)為（3， ），利用 可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．曲線C的參數(shù)方程為ρ=2cos（θ﹣ ）（θ為參數(shù)），展開可得：ρ2= （ρcosθ+ρsinθ），利用 及其ρ2=x2+y2即可得出直角坐標(biāo)方程．（Ⅱ）直線l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的直角坐標(biāo)方程為：：2x+4y= ．設(shè)Q ，則M ，利用點(diǎn)到直線的距離公式與三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．