Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）
（1）當a= 時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=（x2﹣2x）ex ， 如果對任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ax﹣（2a+1）+ ，

所以a= 時，f′（x）= ，

其單調(diào)遞增區(qū)間為（0， ），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（

（2）解：若要命題成立，只需當x∈（0，2]時，f（x）max＜g（x）max．

由g′（x）=（x2﹣2）ex可知，當x∈（0，2]時，g（x）在區(qū)間（0， ）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ ，2]上單調(diào)遞增，

g（0）=g（2）=0，故g（x）max=0，

所以只需f（x）max＜0．

對函數(shù)f（x）來說，f′（x）=ax﹣（2a+1）+ =

當a≤0時，由x∈（0，2]，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增，

f（x）max=f（2）=2ln2﹣2a﹣2＜0，故ln2﹣1＜a≤0

當0＜a≤2時， ，由x∈（0，2），ax﹣1≥0，故f′（x）≥0，

函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞增，

f（x）max=f（2）=2ln2﹣2a﹣2＜0，a＞ln2﹣1

故0＜a≤2滿足題意

當a＞ 時， ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0， ）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（ 上單調(diào)遞減，

f（x）max=f（ =﹣2lna﹣ ﹣2．

若a≥1時，顯然小于0，滿足題意；

若 時，可令h（a）=﹣2lna﹣ ﹣2， ，

可知該函數(shù)在 時單調(diào)遞減，

，滿足題意，所以a＞ 滿足題意．

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是（ln2﹣1，+∞）

【解析】（1）利用導數(shù)直接求單調(diào)區(qū)間；（2）若要命題成立，只需當x∈（0，2]時，f（x）max＜g（x）max ． 分別求出最大值即可．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．