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          【題目】已知函數.

          (1)討論的極值點的個數;

          (2)若方程上有且只有一個實根,求的取值范圍.

          【答案】(1) 時,有一個極值點;當時,有兩個極值點.

          (2)

          【解析】

          1)對求導,討論的解是否在,在時判斷解左右的導數符號,確定極值點的個數.

          2)利用(1)所求,對a討論,研究函數的單調性及極值,應用零點存在定理判斷何時方程上有且只有一個實根.

          (1)的定義域為,.

          .

          時,由,由

          上單調遞增,

          上單調遞減,處取得極小值,無極大值;

          ,即時,由,或,

          上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,

          處取得極小值,在處取得極大值.

          綜上,當時,有一個極值點;當時,有兩個極值點.

          (2)當時,設

          上有且只有一個零點.

          顯然函數的單調性是一致的.

          ①當時,由(1)知函數在區(qū)間上遞減,上遞增,

          所以上的最小值為

          由于,要使上有且只有一個零點,

          需滿足,解得.

          ②當時,因為函數上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增.

          ,∴當時,總有.

          ,

          ,又

          上必有零點.

          上單調遞增,

          ∴當時,上有且只有一個零點.

          綜上,當時,方程上有且只有一個實根.

          練習冊系列答案
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          )討論的單調性;

          )若有兩個零點,求的取值范圍.

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