Question

【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標準，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸x（mm）之間近似滿足關系式（b、c為大于0的常數(shù)）．按照某項指標測定，當產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時為優(yōu)等品．現(xiàn)隨機抽取6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：

尺寸x（mm）	38	48	58	68	78	88
質(zhì)量y (g)	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5
質(zhì)量與尺寸的比	0.442	0.392	0.357	0.329	0.308	0.290

（Ⅰ）現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機變量的分布列和期望；

（Ⅱ）根據(jù)測得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關統(tǒng)計量的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（�。└鶕�(jù)所給統(tǒng)計量，求y關于x的回歸方程；

（ⅱ）已知優(yōu)等品的收益（單位：千元）與的關系為，則當優(yōu)等品的尺寸x為何值時，收益的預報值最大？（精確到0.1）

附：對于樣本 ，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2），x=72.3

【解析】

由題意，首先確定的取值，然后求解相應的分布列和數(shù)學期望即可

結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)計算回歸方程即可

結(jié)合計算求得的回歸方程得到收益函數(shù)，討論函數(shù)的最值即可求得最終結(jié)果

（1）解：由已知，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)，即

則隨機抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品

現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，則取到優(yōu)等品的件數(shù)

， ，

，

的分布列為

（2）解：對（）兩邊取自然對數(shù)得，

令，得，且，

（�。└鶕�(jù)所給統(tǒng)計量及最小二乘估計公式有，

-

，得，故

所求y關于x的回歸方程為

（ⅱ）由（ⅰ）可知，，則

由優(yōu)等品質(zhì)量與尺寸的比，即 令，

當時，取最大值 -

即優(yōu)等品的尺寸（mm），收益的預報值最大.