Question

從1到9的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù)，試問：
（1）能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？
（2）上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？
（3）在（1）中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)？

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，第一步在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有C₄³種結(jié)果，第二步在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有C₅⁴種結(jié)果，第三步得到的7個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列有A₇⁷種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（2）上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起可以把三個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)元素進(jìn)行排列，三個(gè)元素之間還有一個(gè)排列，得到結(jié)果
（3）上述七位數(shù)中偶數(shù)都不相鄰，可先把4個(gè)奇數(shù)排好，再將3個(gè)偶數(shù)分別插入5個(gè)空檔，利用分別計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，
第一步在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有C₄³種結(jié)果，
第二步在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有C₅⁴種結(jié)果，
第三步得到的7個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列有A₇⁷種結(jié)果，
∴符合題意的七位數(shù)有C₄³C₅⁴A₇⁷=100800
（2）上述七位數(shù)中，三個(gè)偶數(shù)排在一起可以把三個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)元素進(jìn)行排列，
三個(gè)元素之間還有一個(gè)排列，有C₄³C₅⁴A₅⁵A₃³=14400
（3）上述七位數(shù)中偶數(shù)都不相鄰，可先把4個(gè)奇數(shù)排好，
再將3個(gè)偶數(shù)分別插入5個(gè)空檔，
共有A₅⁴C₄³A₅³=28800個(gè)

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合及簡單計(jì)數(shù)問題，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于要求相鄰的元素要采用捆綁法，對(duì)于不相鄰的元素要采用插空法，本題是一個(gè)比較典型的排列組合問題．