Question

從1到9的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)三個(gè)奇數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)？
試問(wèn)：
（1）其中1在首位的有多少個(gè)？
（2）其中三個(gè)偶數(shù)字排在一起三個(gè)奇數(shù)字也排在一起的有多少個(gè)？
（3）其中任意兩偶然都不相鄰的六位數(shù)有多少個(gè)？

Answer 1

分析：（1）分三步：第一步在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，第二步除1以外的4個(gè)奇數(shù)中取2個(gè)，第三步在3個(gè)偶數(shù)，3個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，其中把1在首位，得到符合題意的六位數(shù)有C₄³C₄²A₅⁵=2880個(gè)．
（2）六位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起可以把三個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)元素進(jìn)行排列，同樣把三個(gè)奇數(shù)看成一個(gè)元素進(jìn)行排列，再排這相對(duì)獨(dú)立的兩個(gè)元素之間的順序，即可得到結(jié)果．
（3）任意兩個(gè)偶數(shù)都不相鄰，可先把3個(gè)奇數(shù)排好，再將3個(gè)偶數(shù)分別插入5個(gè)空檔，利用分別計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．

解答：解：（1）分步完成：第一步在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，可有C₄³=4種情況；
第二步在除1以外的4個(gè)奇數(shù)中取2個(gè)，可有C₄²=6種情況；
第三步3個(gè)偶數(shù)，3個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，其中1在首位的有A₅⁵=120種情況；
所以符合題意的七位數(shù)有C₄³C₄²A₅⁵=2880個(gè)．…（3分）
（2）其中3個(gè)偶數(shù)排在一起，3個(gè)奇數(shù)也排在一起的
有C₅³A₃³C₄³A₃³A₂²=2880個(gè)．…（7分）
（3）其中偶數(shù)字都不相鄰，可先把3個(gè)奇數(shù)排好，再將3個(gè)偶數(shù)分別插入4個(gè)空檔，
共有C₅³C₄³A₃³A₄³=5760個(gè)．…（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于要求相鄰的元素要采用捆綁法，對(duì)于不相鄰的元素要采用插空法，本題是一個(gè)比較典型的排列組合問(wèn)題．