Question

【題目】已知數(shù)列滿足．

（Ⅰ）若數(shù)列是常數(shù)列，求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證： ；

（Ⅲ）求最大的正數(shù)，使得對(duì)一切整數(shù)恒成立，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3)1.

【解析】試題分析：(1) .

(2)由條件得,得，

又顯然有，所以與同號(hào),而,所以即 .

(3)先由猜測(cè). 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

試題解析：(1)若數(shù)列是常數(shù)列,則, ；顯然,當(dāng)時(shí)，有

(2)由條件得,得，

又因?yàn)?/span>,

兩式相減得顯然有，所以與同號(hào),而,所以；

從而有

(3)因?yàn)?/span>，

所以.這說(shuō)明，當(dāng)時(shí)， 越來(lái)越大，不滿足，所以要使得對(duì)一切整數(shù)n恒成立,只可能. 下面證明當(dāng)時(shí), 恒成立；用數(shù)學(xué)歸納法證明:

當(dāng)時(shí), 顯然成立;假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即,則當(dāng)時(shí), 成立，

由上可知對(duì)一切正整數(shù)恒成立.因此,正數(shù)的最大值是1.