Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)=x³-3tx+m(x∈R,t＞0,m為實(shí)常數(shù))是奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)m的值和函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)g(x)=|f(x)|(x∈［0,1］),求g(x)的最大值F(t).

Answer 1

解:（1）由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，

所以f(-x)=-f(x)，解之得m=0.

設(shè)f(x)=x³-3tx=x(x²-3t)=0.

因?yàn)閠＞0，所以上述方程的解為x₁=0，x₂=t，x₃=t.所以f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0)、(-t,0)、(t,0).

（2）f′(x)=3(x²-t),

因?yàn)閠＞0,所以在［0,1］上f′(x)=3(x+t)(x-).

①t≥1,即t≥1時(shí)，則f(x)在［0,1］上為減函數(shù)，

所以f(x)≤f(0)=0.所以g(x)=-f(x).

故F(t)=-f(1)=3t-1.

②0＜t＜1時(shí)，在［0,1］上f′(x)、f(x)、g(x)變化情況如下：

x	0	(0,)		(,1)	1
f′(x)		-	0	+
f(x)	0	↘	極小值	↗	1-3t
g(x)	0		2t		|1-3t|

當(dāng)或1-3t＜0,即≤t＜1時(shí)，g(x)的最大值F（t）=2t.

當(dāng)即0＜t＜時(shí)，g(x)的最大值F（t）=f(1)=1-3t.

綜上，g(x)的最大值為F(t)=