Question

若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，而在I上是減函數(shù)，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數(shù)”．已知f（x）=x²+（cotθ-1）x+b（θ、b是常數(shù)，b＞0）．
（1）若f（x）是偶函數(shù)，求θ、b應(yīng)滿足的條件；
（2）當(dāng)cotθ≥1時，f（x）在（0，1]上是否是“弱增函數(shù)”，請說明理由．

Answer 1

解：（1）若f（x）是偶函數(shù)，則f（x）=f（-x），…（2分）
即x²+（cotθ-1）x+b=x²-（cotθ-1）x+b對任意x∈R恒成立，
∴cotθ=1，b＞0，…（4分）
∴若f（x）是偶函數(shù)，則θ=kπ+（k∈Z），b＞0，…（6分）
（2）當(dāng)cotθ≥1時，f（x）=x²+（cotθ-1）x+b的對稱軸是
∴f（x）在（0，1]上是增函數(shù) …（8分）
考察函數(shù)，
①當(dāng)，即b≥1時，設(shè)0＜x₁＜x₂≤1，
則
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1≤b，
∴
即g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，f（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”；…（12分）
②當(dāng)，即0＜b＜1時，g（b）=g（1）=1+b+（cotθ-1），
即g（x）在（0，1]上不是單調(diào)函數(shù)，∴f（x）在（0，1]上不是“弱增函數(shù)”．…（13分）
綜上所述，b≥1時，f（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”；0＜b＜1時，f（x）在（0，1]上不是“弱增函數(shù)”…（14分）
分析：（1）根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，可得f（x）=f（-x），由此可求θ、b應(yīng)滿足的條件；
（2）確定f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，考察函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查新定義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．