Question

已知f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時f（x）=x，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，關(guān)于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R，k≠-1）有四個根，則k的取值范圍是

（-1，0）

．

Answer 1

分析：把方程f（x）=kx+k+1的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖象和y=kx+k+1的圖象的交點(diǎn)在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出圖象，由圖可得結(jié)論．

解答：解：由已知可畫出函數(shù)f（x）的圖象，先畫出f（x）在x∈[0，1]上的圖象，利用偶函數(shù)畫出
在x∈[-1，0]上的圖象，再利用函數(shù)的周期性畫出R上的圖象，下面畫出的是函數(shù)在x∈[-1，3]上
的圖象，如圖：
又可知關(guān)于x的方程y=kx+k+1（k≠1）恒過點(diǎn)M（-1，1），在上圖中畫出直線l₀，l₁，l₂，
顯然當(dāng)這些過定點(diǎn)M（-1，1）的直線位于l₀與l₂之間如L₁時，才能與函數(shù)f（x）有四個交點(diǎn)；
又因?yàn)橹本�l₀與l₂的斜率為k₀=0和k₂=-

1

3

，因此k的取值范圍應(yīng)為：-

1

3

＜k＜0，
故答案為 （-

1

3

，0）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性以及直線系方程的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題．