Question

已知

x2

9

+

y2

5

=1的焦點(diǎn)F₁、F₂，在直線l：x+y-6=0上找一點(diǎn)M，求以F₁、F₂為焦點(diǎn)，通過點(diǎn)M且長軸最短的橢圓方程．

Answer 1

分析：在直線l：x+y-6=0上找一點(diǎn)M，使得|MF₁|+|MF₂|最小，根據(jù)對(duì)稱性，只需要求出F₁關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F₁′（6，4），連F₁′F₂交l于一點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)M，故可解．

解答：解：由

x2

9

+

y2

5

=1，得F₁（2，0），F(xiàn)₂（-2，0）（3分）
F₁關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F₁′（6，4）（4分）
連F₁′F₂交l于一點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)M，
∴2a=|MF₁|+|MF₂|=|F₁′F₂|=

(6+2)2+42

=4

5

，
∴a=2

5

（4分）
又c=2，
∴b²=16，（4分）
故所求橢圓方程為

x2

20

+

y2

16

=1．     （3分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查圖形的對(duì)稱性，考查橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出F₁關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F₁′（6，4）是解題的關(guān)鍵．