Question

【題目】從秦朝統(tǒng)一全國(guó)幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢(qián)（簡(jiǎn)稱(chēng)“孔方兄”）是我國(guó)使用時(shí)間長(zhǎng)達(dá)兩千多年的貨幣．如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢(qián)，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內(nèi)部刻有四個(gè)字“同治重寶”．某模具廠(chǎng)計(jì)劃仿制這樣的銅錢(qián)作為紀(jì)念品，其小圓內(nèi)部圖紙?jiān)O(shè)計(jì)如圖2所示，小圓直徑1厘米，內(nèi)嵌一個(gè)大正方形孔，四周是四個(gè)全等的小正方形（邊長(zhǎng)比孔的邊長(zhǎng)小），每個(gè)正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在孔邊上，四個(gè)小正方形內(nèi)用于刻銅錢(qián)上的字．設(shè)，五個(gè)正方形的面積和為．

（1）求面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求的范圍；

（2）求面積最小值．

Answer 1

【答案】（1），的取值范圍為，，（2）

【解析】

(1)由題意可知小正方形的邊長(zhǎng)為，大正方形的邊長(zhǎng)為，所以五個(gè)正方形的面積和為，又，所以，所以的取值范圍為， ，，；

(2)法一：其中，，所以，此時(shí)，所以，則，因?yàn)?/span>，解得，即可求出面積最小值為；

法二：由（1）可知，令，則，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)得到當(dāng)時(shí)，面積最小值為．

解：（1）過(guò)點(diǎn)分別作小正方形邊，大正方形邊的垂線(xiàn)，垂足分別為，，

因?yàn)閮?nèi)嵌一個(gè)大正方形孔的中心與同心圓圓心重合，

所以點(diǎn)，分別為小正方形和大正方形邊的中點(diǎn)，

所以小正方形的邊長(zhǎng)為，

大正方形的邊長(zhǎng)為，

所以五個(gè)正方形的面積和為，

，

因?yàn)樾≌�方形邊長(zhǎng)小于內(nèi)嵌一個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)，

所以，，，

所以的取值范圍為，，

答：面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，

的取值范圍為，，.

（2）法一：，

，

，

，其中，，

所以，此時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以，

則，化簡(jiǎn)得：，

由此解得：，

因?yàn)?/span>，所以，

答：面積最小值為，

法二：，

，

令，則，設(shè)，，

令，得：，

		0
		極小值

所以時(shí)，面積最小值為，

答：面積最小值為.