Question

(13分) （理科）已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且以拋物線的準線為雙曲線的一條準線．動直線過雙曲線的右焦點且與雙曲線的右支交于兩點．

（1）求雙曲線的方程；

（2）無論直線繞點怎樣轉(zhuǎn)動，在雙曲線上是否總存在定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）雙曲線上存在定點，使恒成立

【解析】（理科）解：（1）設(shè)，則由題意有：

   ∴，，

故雙曲線的方程為，                         …………… 4分

（2）解法一：由（1）得點為

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程，，

將方程與雙曲線方程聯(lián)立消去得：，

∴    解得                   …………… 6分

 假設(shè)雙曲線上存在定點，使恒成立，設(shè)為

則：

∵，∴，

故得：對任意的恒成立，

∴，解得

∴當(dāng)點為時，恒成立；                …………… 10分

當(dāng)直線l的斜率不存在時，由，知點使得也成立．

又因為點是雙曲線的左頂點，                     …………… 12分

所以雙曲線上存在定點，使恒成立．  …………… 13分

解法二（略解）：當(dāng)直線l的斜率不存在時，由，，，且點在雙曲線上可求得，

當(dāng)直線l的斜率存在時，將，，代入，經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)對任意的恒成立，從而恒有成立．

因而雙曲線上存在定點，使恒成立．