Question

（12分）如圖，三條直線、、兩兩平行，直線、間的距離為，直線、間的距離為，、為直線上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，是在直線上滑動(dòng)的長(zhǎng)度為的線段.

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求△的外心的軌跡；

（2）當(dāng)△的外心在上什么位置時(shí)，使最小？最小值是多少？（其中，為外心到直線的距離）

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）以直線b為x軸，以過點(diǎn)A且與b直線垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則由題意有A(0, p)，設(shè)△AMN的外心坐標(biāo)為C(x, y)，則M(x – p，0)，N(x+p, 0)，

由題意有|CA|=|CM|. ∴

化簡(jiǎn)，得x²=2py，它是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、y軸為對(duì)稱軸、開口向上的拋物線.    

（2）不難知道，直線c恰為軌跡E的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，d=|CF|，其中是拋物線的焦點(diǎn). ∴d+|BC|=|CF|+|BC|.

由兩點(diǎn)間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點(diǎn)即為所求的使d+|BC|最小的點(diǎn).

由兩點(diǎn)式方程可求得直線BF的方程為，

把它與x²=2py聯(lián)立，得.

故當(dāng)△AMN外心C為時(shí)，d+BC最小. 最小值

 

【解析】略