Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，底面，，，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若E是側棱上的一點，且與底面所成的是為45°，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由余弦定理得的長，利用勾股定理，證得，再由底面，得到，從而證得平面，進而得到平面平面.

（Ⅱ）以A為坐標原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設，根據向量的夾角公式，求得，得到，進而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（Ⅰ）在平行四邊形中，，，，

由余弦定理得，

可得，所以，即，

又底面，底面，所以，

又 所以平面，

又平面，所以平面平面.

（Ⅱ）如圖所示，以A為坐標原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，，

設，，

因為，，

又因為，所以，

又由平面的一個法向量為，

所以，

解得，即，

設平面的法向量為，平面的法向量為，

由，，

因為，，可得，取，得，

同理可得 ，

由，

因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.