Question

（2009•臺州二模）已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-2ax-3a，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x=2處的切線與直線x+6y=0垂直，求a的值．
（Ⅱ）證明：對于?a∈R都?x∈[-1，4]，使得f（x）≤f′（x）成立．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=3x²+2ax-2a，利用f′（2）與直線x+6y=0的斜率乘積為-1，求解a
（2）令g（x）=f（x）-f′（x）=x³+（a-3）x²-4ax-a，考察g（x）在∈[-1，4]上的最小值小于等于0即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax-2a，直線x+6y=0的斜率為-

1

6

，由題意得f′（2）=12+2a=6，
所以a=-3…（4分）
（Ⅱ）證明：令g（x）=f（x）-f′（x），g（x）=x³+（a-3）x²-4ax-a，
由g′（x）=0得：x₁=2，x2=-

2a

3

…（7分）
（1）當a≤-3時，x₂≥x₁，在（-∞，2]上g′（x）≥0，即g（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞增，此時g（x）_min≤g（-1）=4a-4≤-16．
∴a≤-3…（10分）
（2）當a＞-3時，x₁＞x₂，在(-∞，-

2a

3

]上g′（x）≥0，在(-

2a

3

，2)上g′（x）＜0，在[2，+∞）上g′（x）≥0，即g（x）在(-∞，-

2a

3

]上單調(diào)遞增，在(-

2a

3

，2)上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）_min≤g（2）或者g（x）_min≤g（-1），此時只要g（-1）=4a-4≤0或者g（2）=-5a-4≤0即可，得a≤1或a≥-

4

5

，
∴a＞-3．…（14分）
由 （1）、（2）得 a∈R．
∴綜上所述，對于?a∈R都?x∈[-1，4]，使得f（x）≤f′（x）成立．…（15分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想．