Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．   （Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k>0時(shí)，恒有||>||．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）． （Ⅲ）在題設(shè)條件下，恒有． 

【解析】(I)根據(jù)橢圓定義可知a=2,,所以b=1,再注意焦點(diǎn)在y軸上，曲線C的方程為.

(II) 直線與橢圓方程聯(lián)立，消y得關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)坐標(biāo)化為，借助直線方程和韋達(dá)定理建立關(guān)于k的方程，求出k值.

(III)要證：||>||,，再根據(jù)A在第一象限，故,,從而證出結(jié)論.

解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，

故曲線C的方程為．            3分

（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足

消去y并整理得，

故．       5分

若，即．而，

于是，

化簡(jiǎn)得，所以．       8分

（Ⅲ）

                 

                 

                  ．

因?yàn)锳在第一象限，故．由知，從而．又，

故，

即在題設(shè)條件下，恒有．          12分