Question

如圖，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，，AB=AD=A₁B=2CD，側面A₁ADD₁為正方形．
（1）求直線A₁A與底面ABCD所成角的大小；
（2）求二面角C-A₁B-A正切值的大��；
（3）在棱C₁C上是否存在一點P，使得 D₁P∥平面A₁BC，若存在，試說明點P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）做出輔助線，根據面面垂直得到線線垂直，進而得到線面垂直，得到∠A₁AB為直線A₁A與平面ABCD所成的角．求出結果
（2）做出輔助線，過O作OH⊥A₁B，垂足為H，連接CH．根據OC∥DA，DA⊥平面AA₁B₁B，得到CO⊥平面AA₁B₁B．得到∠CHO為二面角C-A₁B-A的平面角，在三角形求出角的正切值
（3）結論是存在．當點P為棱C₁C中點時，D₁P∥平面A₁BC．根據線面平行的判定定理整出結論．
解答：解：（1）取AB中點O，連接A₁O．設AB=a．∵AD⊥AA₁，AD⊥AB，AA₁∩AB=A，
∴AD⊥平面AA₁B₁B，AD?而ABCD∴平面AA₁B₁B⊥平面ABCD．
∵AB=AA₁=A₁B=a，∴A₁O⊥AB，∴A₁O⊥平面ABCD．
∴∠A₁AB為直線A₁A與平面ABCD所成的角．
∵∠A₁AB=60°，∴直線A₁A與平面ABCD所成角的大小為60°
（2）過O作OH⊥A₁B，垂足為H，連接CH．∵OC∥DA，DA⊥平面AA₁B₁B，
∴CO⊥平面AA₁B₁B．
∵OH⊥A₁B，∴CH⊥A₁B．∴∠CHO為二面角C-A₁B-A的平面角．
在正△A₁AB中，，
在Rt△COH中，．
∴二面角C-A₁B-A正切值的大小為．
（3）存在．當點P為棱C₁C中點時，D₁P∥平面A₁BC．
證明如下
延長D₁P與DC交于Q，連接BQ，∵點P為棱C₁C中點，
∴PC為△D₁DQ的中位線．∴QC=DC．
由條件，得四邊形ABQD為正方形．
∴BQ=AD=A₁D₁，且BQ∥AD∥A₁D₁．
則四邊形A₁BQD₁是平行四邊形．
∴D₁P∥A₁B．∵D₁P?平面A₁BC．A₁B?平面A₁BC．
∴D₁P∥平面A₁BC．
點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及利用空間向量的方法求解二面角等有關知識，同時考查了空間想象能力、轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．