Question

（2013•連云港一模）已知數(shù)列{a_n}中，a₂=a（a為非零常數(shù)），其前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=

n(an-a1)

2

(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a=2，且

1

4

a_m²-S_n=11，求m、n的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a、b，使得對任意正整數(shù)p，數(shù)列{a_n}中滿足a_n+b≤p的最大項(xiàng)恰為第3p-2項(xiàng)？若存在，分別求出a與b的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系，判定數(shù)列為特征數(shù)列，再求通項(xiàng)公式；
（2）利用（1）的結(jié)論，求出m、n滿足的關(guān)系，分析求解即可；
（3）根據(jù)條件a_n+b≤p求出n滿足的條件，再根據(jù)滿足a_n+b≤p的最大項(xiàng)始終為3P-2，轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，分析求解即可．

解答：解：（1）由已知，得a₁=S₁=

1×(a1-a1)

2

=0，∴S_n=

nan

2

，
則有S_n+1=

(n+1)an+1

2

，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即（n-1）a_n+1=na_n  n∈N*，
∴na_n+2=（n+1）a_n+1，
兩式相減得，2a_n+1=a_n+2+a_n   n∈N*，
即a_n+1-a_n+1=a_n+1-a_n    n∈N*，
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
又a₁=0，a₂=a，∴a_n=（n-1）a．
（2）若a=2，則a_n=2（n-1），∴S_n=n（n-1）．
由

1

4

a

2 m

-Sn=11，得n²-n+11=（m-1）²，即4（m-1）²-（2n-1）²=43，
∴（2m+2n-3）（2m-2n-1）=43．
∵43是質(zhì)數(shù)，2m+2n-3＞2m-2n-1，2m+2n-3＞0，
∴

2m-2n-1=1 2m+2n-3=43

，解得m=12，n=11．
（3）由a_n+b≤p，得a（n-1）+b≤p．
若a＜0，則n≥

p-b

a

+1，不合題意，舍去；     
若a＞0，則n≤

p-b

a

+1．∵不等式a_n+b≤p成立的最大正整數(shù)解為3p-2，
∴3p-2≤

p-b

a

+1＜3p-1，
即2a-b＜（3a-1）p≤3a-b，對任意正整數(shù)p都成立．
∴3a-1=0，解得a=

1

3

，
此時(shí)，

2

3

-b＜0≤1-b，解得

2

3

＜b≤1．
故存在實(shí)數(shù)a、b滿足條件，a與b的取值范圍是a=

1

3

，

2

3

＜b≤1．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系及數(shù)列的綜合問題．