Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）設(shè)a=

1

2

，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)有意義可知真數(shù)要大于0，建立關(guān)系式，解之即可求出函數(shù)的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判定，計(jì)算f（-x）與f（x）的關(guān)系，從而確定函數(shù)的奇偶性；
（3）將a=

1

2

代入，根據(jù)函數(shù)的定義域和函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)系式，解之即可求出x的范圍．

解答：解：（1）由題知：

x+1＞0 1-x＜0

，解得：-1＜x＜1，所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．
（2）奇函數(shù)．
證明：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），所以對任意x∈（-1，1），
f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1-（-x））=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x）
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）由題知：log 

1

2

（x+1）＞log 

1

2

（1-x），即有

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

，
解得：-1＜x＜0，
所以不等式f（x）＞0的解集為{x|-1＜x＜0}

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、以及利用單調(diào)性解不等式和對數(shù)函數(shù)的定義域，同時(shí)考查了對數(shù)運(yùn)算，屬于中檔題．