Question

m，n 是正整數(shù)，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次項(xiàng)的系數(shù)的和為17，
求：（1）f（x）中x²項(xiàng)的系數(shù)的最小值；
（2）對(duì)（1）中求相應(yīng)的m，n的值，并求出x⁵的系數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵m，n 是正整數(shù)，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次項(xiàng)的系數(shù)的和為17，
∴m+n=17，n=17-m，
∴f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x²項(xiàng)的系數(shù)為：
+=+=[m²+（17-m）²]-=×2（m²-17m）+136=+，
∵m，n 是正整數(shù)，故當(dāng)m=8或m=9時(shí)，+有最小值64；
（2）當(dāng)m=8，n=9，x⁵的系數(shù)為：+=+=56+126=182，
當(dāng)m=9，n=8，x⁵的系數(shù)為：+=182．
分析：（1）m，n 是正整數(shù)，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次項(xiàng)的系數(shù)的和為17?m+n=17?n=17-m，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x²項(xiàng)的系數(shù)為：+=+=[m²+（17-m）²]-=×2（m²-17m）+136通過(guò)配方可求得f（x）中x²項(xiàng)的系數(shù)的最小值；
（2）由（1）可求得m=8，n=9或m=9，n=8，不妨令m=8，n=9，x⁵的系數(shù)為：+=+，其值可求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于正確理解題意，熟練應(yīng)用組合數(shù)公式，著重考查配方法球最值，屬于中檔題．