Question

m，n 是正整數，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次項的系數的和為17，
求：（1）f（x）中x²項的系數的最小值；
（2）對（1）中求相應的m，n的值，并求出x⁵的系數．

Answer 1

（1）∵m，n 是正整數，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次項的系數的和為17，
∴m+n=17，n=17-m，
∴f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x²項的系數為：

C

2m

+

C

2n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=

1

2

[m²+（17-m）²]-

17

2

=

1

2

×2（m²-17m）+136=(m-

17

2

)2+

255

4

，
∵m，n 是正整數，故當m=8或m=9時，

C

2m

+

C

2n

有最小值64；
（2）當m=8，n=9，x⁵的系數為：

C

58

+

C

59

=

C

38

+

C

49

=56+126=182，
當m=9，n=8，x⁵的系數為：

C

59

+

C

58

=182．