Question

.如圖,在底面是直角梯形的四棱錐    P—ABCD中,AD//BC, ∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=4.
AD=2,AB=,BC=6.

（Ⅰ）求證:BD⊥平面PAC;
（Ⅱ）求二面角A—PC—D的余弦值.

Answer 1

解法一:(1)∵PA⊥平面ABCD, BD平面ABCD,  ∴BD⊥PA.      
又，
∴∠ABD="30,°∠BAC=60°"
∴∠AEB=90°，即BD⊥AC  ……4分  
又PAAC="A," ∴BD⊥平面PAC.                     
(2)過E作EF⊥PC,垂足為F,連結(jié)DF,
∵DE⊥平面PAC,EF是DF在平面PAC上的射影,由三垂線定理知PC⊥DF,
∴∠EFD為二面角A—PC—D的平面角.                
又∠DAC=90°—∠BAC=30°∴DE=ADsin∠DAC＝1，AE＝ABsin∠ABE＝，
又AC＝， ∴EC=, PC=8.
由Rt△EFC∽R(shí)t△PAC得 
在Rt△EFD中,，
∴.∴二面角A—PC—D的大小為.          
解法二:(1)如圖,建立坐標(biāo)系,則
   ……2分
∴，∴， 
∴BD⊥AP, BD⊥AC, 又PAAC=A∴BD⊥平面PAC.
(2)設(shè)平面PCD的法向量為,
則, ……6分
又,
∴, 解得   
∴                            ……8分
平面PAC的法向量取為,       ……10分
∴二面角A—PC—D的大小為.   

解析