Question

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，已知∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=1．
（1）當SA=2時，求直線SA與平面SCD所成角的正弦值；
（2）若平面SCD與平面SAB所成角的余弦值為

4

9

，求SA的長．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，求出SCD 的法向量

n

，利用

SA

與

n

夾角余弦得值去解決．
（2）求出平面SCD與平面SAB 的法向量

n

，

m

，利用面SCD與平面SAB所成角與

n

，

m

的夾角相等或互補的關(guān)系去解決．

解答：解：以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系．

n

各點坐標 A（0，0，0）S（0，0，2）D（1，0，0）C（2，2，0）

SD

=（1，0，-2）

SC

=（2，2，-2），
設(shè)面SCD的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • SD =0 n • SC =0

即

x-2z=0 2x+2y-2z=0

取z=1．則

n

=(2，-1，1) 
又

AS

=（0，0，2）
|cos＜

n

，

AS

＞=

| n • AS |

| n |• | AS |

=

2

6 ×2

=

6

6

．∴直線SA與平面SCD所成角的正弦值等于

6

6

．
（2）設(shè)SA=a，則 S（0，0，a），

SD

=（1，0，-a）

SC

=（2，2，-a），
設(shè)面SCD的一個法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • SD =0 n • SC =0

即

x-az=0 2x+2y-az=0

取z=1．則

n

=(a，-

a

2

，1)
又面SAB的一個法向量為

m

=（1，0，0），|cos＜

m

，  

n

＞|=

| m ，  n |

| m | •| n |

=

a

5a2 4 + 1

=

4

9

，解得a=

4 61

61

點評：本題考用空間向量解決直線和平面位置關(guān)系、二面角大小，考查轉(zhuǎn)化的思想方法，空間想象能力，計算能力．屬于常規(guī)題目．