Question

已知平面上一定點(diǎn)C（2，O）和直線(xiàn)l：x=8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且(

PC

+

1

2

PQ

)•(

PC

-

1

2

PQ

)=0．
（1）問(wèn)點(diǎn)P在什么曲線(xiàn)上？并求出該曲線(xiàn)的方程；
（2）若EF為圓N：x²+（y-1）²=1的任一條直徑，求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

（1）設(shè)P的坐標(biāo)為P（x，y），則Q（8，y）
∵(

PC

+

1

2

PQ

)•(

PC

-

1

2

PQ

)=0，得：4

|PC|

²=

|PQ|

²
∴4[（x-2）²+y²]=[（x-8）²+（y-y）²]，化簡(jiǎn)得3x²+4y²=48，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

16

+

y2

12

=1，此曲線(xiàn)是以（±2，0）為焦點(diǎn)的橢圓；
（2）∵EF為圓N的直徑，∴|NE|=|NF|=1，且

NE

=-

NF

∴

PE

•

PF

=（

PN

+

NE

）•（

PN

+

NF

）=（

PN

+

NF

）•（

PN

-

NF

）=

PN

2-1
∵點(diǎn)P為橢圓

x2

16

+

y2

12

=1上的點(diǎn)，滿(mǎn)足x²=16-

4y2

3

∵N（1，0），∴

PN

2=x²+（y-1）²=-

1

3

（y+3）²+20
∵橢圓

x2

16

+

y2

12

=1上點(diǎn)P縱坐標(biāo)滿(mǎn)足 y∈[-2

3

，2

3

]
∴當(dāng)y=-3時(shí)，

PN

2的最大值為20，故

PE

•

PF

=

PN

2-1的最大值等于19．