Question

已知平面上一定點C（2，O）和直線l：x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且(

PC

+

1

2

PQ

)•(

PC

-

1

2

PQ

)=0．
（1）問點P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；
（2）若EF為圓N：x²+（y-1）²=1的任一條直徑，求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量數量積的運算性質，得4

|PC|

²=

|PQ|

²．設P（x，y），則Q（8，y），運用距離公式化簡可得3x²+4y²=48，整理得

x2

16

+

y2

12

=1，由此可得點P的軌跡是以（±2，0）為焦點的橢圓；
（2）根據題意，得|NE|=|NF|=1且

NE

=-

NF

，由此化簡得

PE

•

PF

=

PN

2-1，根據橢圓方程與兩點的距離公式，求出當P的縱坐標為-3時

PN

2的最大值為20，由此即得

PE

•

PF

=

PN

2-1的最大值為19．

解答：解：（1）設P的坐標為P（x，y），則Q（8，y）
∵(

PC

+

1

2

PQ

)•(

PC

-

1

2

PQ

)=0，得：4

|PC|

²=

|PQ|

²
∴4[（x-2）²+y²]=[（x-8）²+（y-y）²]，化簡得3x²+4y²=48，
∴點P的軌跡方程為

x2

16

+

y2

12

=1，此曲線是以（±2，0）為焦點的橢圓；
（2）∵EF為圓N的直徑，∴|NE|=|NF|=1，且

NE

=-

NF

∴

PE

•

PF

=（

PN

+

NE

）•（

PN

+

NF

）=（

PN

+

NF

）•（

PN

-

NF

）=

PN

2-1
∵點P為橢圓

x2

16

+

y2

12

=1上的點，滿足x²=16-

4y2

3

∵N（0，1），∴

PN

2=x²+（y-1）²=-

1

3

（y+3）²+20
∵橢圓

x2

16

+

y2

12

=1上點P縱坐標滿足 y∈[-2

3

，2

3

]
∴當y=-3時，

PN

2的最大值為20，故

PE

•

PF

=

PN

2-1的最大值等于19．

點評：本題給出動點P的軌跡，求其方程并研究向量數量積的最大值，著重考查了向量的數量積、橢圓的標準方程與簡單性質和直線與圓等知識，屬于中檔題．