Question

函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=

1

2

（1）求f(

1

2

)的值．
（2）數(shù)列{a_n} 滿足：an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明．

Answer 1

分析：（1）在給出的等式中，取x=

1

2

，整理后即可得到答案；
（2）在給出等式中取x=

1

n

，得到f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=

1

2

，把an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)倒序后兩式相加求出a_n，然后判斷a_n+1-a_n是否為常數(shù)．

解答：解：（1）由f（x）+f（1-x）=

1

2

，
令x=

1

2

，得f(

1

2

)+f(

1

2

)=

1

2

，∴f(

1

2

)=

1

4

（2）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
事實(shí)上，令x=

1

n

，得f(

1

n

)+f(1-

1

n

)=

1

2

，
即f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=

1

2

，an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)
又an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)，
兩式相加得：
2an=[f(0)+f(1)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(1)+f(0)]=

n+1

2

，
∴an=

n+1

4

，n∈N*，
則an+1-an=

(n+1)+1

4

-

n+1

4

=

1

4

．
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，解答的關(guān)鍵是利用倒序相加法求得a_n，是中檔題．