Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若對(duì)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂）（a＞0），試證明：

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＞f（

x1+x2

2

）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時(shí)滿(mǎn)足以下條件：
①對(duì)任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②對(duì)任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤

1

2

(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將x=-1代入得到關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，再由△確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（2）作差法：只需證明

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]-f（

x1+x2

2

）＞0即可，作差后化簡(jiǎn)根據(jù)條件即可證明；
（3）假設(shè)存在a，b，c∈R使得條件成立，由①可知函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸是x=-1，且最小值為0，由此可知a=c；由②知將x=1代入可求的a=c=

1

4

，b=

1

2

，最后驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，b=a+c，
∵△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²，
當(dāng)a=c時(shí)△=0，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a≠c時(shí)，△＞0，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]-f（

x1+x2

2

）=

1

2

（ax12+bx1+c+ax22+bx2+c）-[a(

x1+x2

2

)2+b•

x1+x2

2

+c]
=a[

x12

2

+

x22

2

-(

x1+x2

2

)2]=

1

4

a(x1-x2)2，
因?yàn)閍＞0，x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），
所以

1

4

a(x1-x2)2＞0，故

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＞f（

x1+x2

2

）；
（3）假設(shè)a，b，c存在，由①知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，且f（x）_min=0，
∴-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=0⇒b=2a，b²=4ac⇒4a²=4ac⇒a=c，
由②知對(duì)?x∈R，都有0≤f（x）-x≤

1

2

（x-1）²，
令x=1得0≤f（1）-1≤0⇒f（1）-1=0⇒f（1）=1⇒a+b+c=1，
由

a+b+c=1 b=2a a=c

解得a=c=

1

4

，b=

1

2

，
當(dāng)a=c=

1

4

，b=

1

2

時(shí)，f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）2，其頂點(diǎn)為（-1，0）滿(mǎn)足條件①，
又f（x）-x=

1

4

（x-1）2，所以對(duì)?x∈R，都有0≤f（x）-x≤

1

2

（x-1）2，滿(mǎn)足條件②．
∴存在a，b，c∈R，使f（x）同時(shí)滿(mǎn)足條件①、②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、不等式的證明及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．