Question

已知,函數(shù).

（Ｉ）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（Ⅱ）求函數(shù)的零點(diǎn)．

 

Answer 1

（Ｉ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；

【解析】

試題分析：（Ｉ）先在上任取兩變量，設(shè)，再對作差變形化簡，判斷大小確定單調(diào)性．
（Ⅱ）要求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，即求方程f（x）=0的根，對和分情況求解，其中當(dāng)時(shí)，令, 即，對此方程中參數(shù)a對根的情況進(jìn)行討論求解.

試題解析： (1)證明:在上任取兩個(gè)實(shí)數(shù),且,

則． 2分

∵, ∴．

∴, 即. ∴．

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增． 4分[K]

(2) (ⅰ)當(dāng)時(shí), 令, 即, 解得.

∴是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)． 6分

（ⅱ）當(dāng)時(shí), 令, 即．(※)

①當(dāng)時(shí), 由(※)得,∴是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)； 8分

②當(dāng)時(shí), 方程(※)無解；

③當(dāng)時(shí), 由(※)得,(不合題意,舍去) 10分

綜上, 當(dāng)時(shí), 函數(shù)的零點(diǎn)是和；

當(dāng)時(shí), 函數(shù)的零點(diǎn)是． 12分

考點(diǎn)：1.函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；2.分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；3.函數(shù)的零點(diǎn)．