Question

已知函數(shù)已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，又f（x）=sinx+mcosx，F(xiàn)（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（I）若，求F（x）的值；
（Ⅱ）把F（x）圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的一半后得到H（x），求H（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，確定m的值．再求導(dǎo)，即可求得F（x）的值；
（Ⅱ）先確定H（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得H（x）的單調(diào)減區(qū)間．
解答：解：（I）冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
∴-m²+2m+3＞0，∴-1＜m＜3，
又m∈Z，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故m=1…．（3分）
∴f（x）=sinx+cosx，f'（x）=cosx-sinx
∴F（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1=2（cosx-sinx）cosx-1=cos2x-sin2x=
∵，F(xiàn)（x）=．…（6分）
（Ⅱ）由（I）知：F（x）=cos2x-sin2x=，∴．
令得：
∴H（x）的單調(diào)減區(qū)間為…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查冪函數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．