Question

已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M={0，1，2，…，q-1}，集合A={x|x=x₁+x₂q+…+x_nq^n-1，x_i∈M，i=1，2，…n}．
（Ⅰ）當(dāng)q=2，n=3時，用列舉法表示集合A；
（Ⅱ）設(shè)s，t∈A，s=a₁+a₂q+…+a_nq^n-1，t=b₁+b₂q+…+b_nq^n-1，其中a_i，b_i∈M，i=1，2，…，n．證明：若a_n＜b_n，則s＜t．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）當(dāng)q=2，n=3時，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x_i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．
（Ⅱ）由于a_i，b_i∈M，i=1，2，…，n．a(chǎn)_n＜b_n，可得a_n-b_n≤-1．
由題意可得s-t=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤-[1+q+…+q^n-2+q^n-1]，
再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)q=2，n=3時，
M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x_i∈M，i=1，2，3}．
可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．
（Ⅱ）證明：由設(shè)s，t∈A，s=a₁+a₂q+…+a_nq^n-1，t=b₁+b₂q+…+b_nq^n-1，其中a_i，b_i∈M，i=1，2，…，n．a(chǎn)_n＜b_n，∴a_n-b_n≤-1．
可得s-t=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1
≤-[1+q+…+q^n-2+q^n-1]
=-

qn-1

q-1

＜0．
∴s＜t．

點評：本題考查了考查了集合的運算及其性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項和公式、不等式的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．