Question

若f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0，f（3）=0．
（1）求b與c的值；
（2）試證明函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求f（x）在[0，5）上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件分別求出b，c，
（2）利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出函數(shù)的對(duì)稱軸即可．
（3）根據(jù)函數(shù)對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系即可求出函數(shù)的值域以及函數(shù)的最值．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c，f（1）=0，f（3）=0．
∴1+b+c=0且9+3b+c=0，
解得b=-4，c=3．
（2）∵b=-4，c=3．
∴f（x）=x²+bx+c=x²-4x+3=（x-2）²-1，
則對(duì)稱軸為x=2，
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)；
（3）∵f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1的對(duì)稱軸為x=2，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值-1，
當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)取得最大值f（5）=8，
故-1≤f（x）≤8，
即函數(shù)的值域?yàn)閇-1，8]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，利用配方法，結(jié)合對(duì)稱軸和定義區(qū)間的關(guān)系即可求函數(shù)的最值．